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book: 공학 핵심수학essential engineering mathmatics

Chapter 06 극한과 연속limit and continuity

6.1 함수의 극한

함수의 극한

$y = f(x)$ 함수에서 접근 방법의 수학적 표기

정의 6-1 함수의 극한

x가 a로 접근할 때 f(x)가 실수 L에 한없이 가까워지면, 실수 L을 x = a에서의 f(x)의 극한 또는 극한값이라 하고 다음과 같이 나타낸다.

\[\lim_{x \to a}f(x) = L\]

$\lim_{x \to a}f(x) = L$ 이면, x가 a로 접근할 때 f(x)는 L에 수렴한다converge고 말한다.

정의 6-2 좌극한과 우극한

x가 a의 왼쪽에서 a로 접근할 때 f(x)가 실수 $L_1$ 에 한없이 가까워지면, $L_1$ 을 x = a에서의 f(x)의 좌극한이라 하고 다음과 같이 나타낸다

\[\lim_{x \to a^-}f(x) = L_1\]

x가 a의 오른쪽에서 a로 접근할 때 f(x)가 실수 $L_2$ 를 x = a에서의 f(x)의 우극한이라 하고 다음과 같이 나타낸다

\[\lim_{x \to a^+}f(x) = L_2\]

좌극한과 우극한의 값은 같을 수도 있고 다를 수도 있다.

극한의 존재성 판정법

함수의 극한의 존재성은 좌극한과 우극한을 이용하여 판정한다.

정리 6-1 극한의 존재성 판정법
  1. L이 실수이고 $\lim_{x \to a^-}f(x) = \lim_{x \to a^+}f(x) = L$ 이면, $\lim_{x \to a}f(x) = L$ 이다.
  2. $\lim_{x \to a^-}f(x) \neq \lim_{x \to a^+}f(x)$ 이면 $\lim_{x \to a}f(x)$ 는 존재하지 않는다.
양의 무한대와 음의 무한대

어떤 값이 한없이 커질 때 이를 무한대 또는 양의 무한대라고 하고 $\infty$ 로 나타낸다. 또한 어떤 값이 음의 값이면서 한없이 작아질 때 이를 음의 무한대라고 하고 $-\infty$ 로 나타낸다.

$\lim_{x \to a}f(x) = \infty$ 이거나 $\lim_{x \to a}f(x) = -\infty$ 이면 x가 a로 접근할 때 f(x)는 발산한다고 한다.

6.2 극한의 기본 연산과 부정형

극한의 기본 연산

정리 6-2 극한의 기본 연산

A, B가 실수일 때, $\lim_{x \to a}f(x) = A$ 이고 $\lim_{x \to a}g(x) = B$ 이면 다음이 성립한다.

  1. $\lim_{x \to a}(f(x)+g(x)) = A + B$
  2. $\lim_{x \to a}(f(x)-g(x)) = A - B$
  3. $\lim_{x \to a}f(x)g(x) = AB$
  4. $\lim_{x \to a}\cfrac{f(x)}{g(x)} = \cfrac{A}{B}$
  5. k가 실수일 때, $\lim_{x \to a}kf(x) = kA$

부정형의 극한

$x \to a$ 또는 $x \to \pm\infty$ 일 때, 극한 결과가 $\cfrac{0}{0}, \cfrac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, \infty \cdot 0$ 과 같은 꼴이 되는 것을 부정형indeterminate form이라 한다.

정리 6-3 $\cfrac{0}{0}$ 꼴 부정형의 극한 계산법
  1. 분수함수: 분자와 분모의 공통인수를 찾아 약분한 후 극한을 계산한다
  2. 무리함수: 분자 또는 분모에 있는 근호를 유리화하여 약분한후 극한을 계산한다
정리 6-4 $\cfrac{\infty}{\infty}$ 꼴 부정형의 극한 계산법
  1. (분자의 차수) > (분모의 차수) 일 때,
\[\lim_{x \to \infty}\cfrac{f(x)}{g(x)} = \infty 또는 \lim_{x \to \infty}\cfrac{f(x)}{g(x)} = -\infty\]

이다. 이 때 극한은 f(x)의 최고차항의 부호와 g(x)의 최고차항의 부호에 의해 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 결정한다.

  1. (분자의 차수) = (분모의 차수) 일 때,
\[\lim_{x \to \infty}\cfrac{f(x)}{g(x)} = \cfrac{\text{(분자의 최고차항의 계수)}}{\text{(분모의 최고차항의 계수)}}\]

이다.

  1. (분자의 차수) < (분모의 차수) 일 때,
\[\lim_{x \to \infty}\cfrac{f(x)}{g(x)} = 0\]

이다.

6.3 초월함수의 극한

지수함수와 로그함수의 극한

정리 6-5 지수함수와 로그함수의 극한 계산법

로피탈의 법칙L’Hospital’s theorem에 의하여, $x \to \infty$ 일 때 다음 함수의 순서로 더 빠르게 $\infty$ 로 발산한다.

\[\text{로그함수} < \text{다항함수} < \text{지수함수}\]

이를 이용하면 다음 결과를 얻을 수 있다.

  1. $\lim_{x \to \infty}\cfrac{\text{로그함수}}{\text{다항함수}} = 0$
  2. $\lim_{x \to \infty}\cfrac{\text{로그함수}}{\text{지수함수}} = 0$
  3. $\lim_{x \to \infty}\cfrac{\text{다항함수}}{\text{로그함수}} = \pm\infty$
  4. $\lim_{x \to \infty}\cfrac{\text{다항함수}}{\text{지수함수}} = 0$
  5. $\lim_{x \to \infty}\cfrac{\text{지수함수}}{\text{로그함수}} = \pm\infty$
  6. $\lim_{x \to \infty}\cfrac{\text{지수함수}}{\text{다항함수}} = \pm\infty$
정리 6-6 무리수 e의 정의를 이용한 극한 계산법

$\lim_{x \to 0}f(x) = 0$ 이면 $\lim_{x \to 0}(1+f(x))^{\cfrac{1}{f(x)}} = e$ 이다.

삼각함수의 극한

정리 6-7 삼각함수의 극한 계산법

$\lim_{x \to 0}f(x) = 0$ 이면 다음이 성립한다.

  1. $\lim_{x \to 0}\cfrac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$
  2. $\lim_{x \to 0}\cfrac{f(x)}{\sin f(x)} = 1$
  3. $\lim_{x \to 0}\cfrac{\tan f(x)}{f(x)} = 1$
  4. $\lim_{x \to 0}\cfrac{f(x)}{\tan f(x)} = 1$
정리 6-8 조임정리squeeze theorem

L이 실수이고 x = a의 근방에 있는 모든 x에 대하여 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ 이며

\[\lim_{x \to a}f(x) = L = \lim_{x \to a}h(x)\]

이면 $\lim_{x \to a}g(x) = L$ 이다.

6.4 함수의 연속

한 점에서 연속

정의 6-3 한 점에서 연속

f(x)가 다음 세 조건을 모두 만족하면, f(x)는 x = a에서 연속이라 한다.

  1. $\lim_{x \to a}f(x)$가 존재한다.
  2. f(a)가 존재한다.
  3. $\lim_{x \to a} = f(a)$ 가 성립한다.

구간에서 연속

정의 6-4 구간에서 연속

f(x)가 구간 I의 모든 점에서 연속이면, f(x)는 구간 I에서 연속이라 한다.

정리 6-9 유리함수가 연속인 점의 집합

유리함수가 연속인 점의 집합은 다음과 같다.

  1. 다항함수: 실수 전체 집합인 $\mathbb{R}$ 에서 연속
  2. 분수함수: $\mathbb{R} - \text{분모를 0으로 만드는 점}$ 에서 연속
정리 6-10 무리함수가 연속인 점의 집합

무리함수가 연속인 점의 집합은 다음과 같다.

  1. 홀수 근호를 갖는 무리함수: 근호 안 함수의 정의역에서 연속
  2. 짝수 근호를 갖는 무리함수: 근호 안 함수가 음이 아닌 영역에서 연속

중간값 정리

정리 6-11 중간값 정리

f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)f(b) < 0 이면, f(c) = 0 을 만족하는 c가 개구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

Chapter 07 미분의 기초Basics of differentiation

7.1 미분계수와 도함수

평균변화율

정의 7-1 평균변화율

y = f(x) 이고 x가 a에서 b까지 변할 때,

  1. $\Delta x = b - a$ 를 x의 증분이라 한다
  2. $\Delta y = f(b) - f(a)$ 를 y의 증분이라 한다
  3. $\cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 를 x가 a에서 b까지 변할 때 f(x)의 평균변화율이라 한다.

순간변화율(미분계수)

정의 7-2 순간변화율

x = a에서의 f(x)의 순간변화율은

\[f'(a) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a}\cfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

로 정의한다. x = a에서의 순간변화율을 x = a에서의 미분계수differential coefficient라고도 한다.

도함수

정의 7-3 도함수와 미분

y = f(x)에서 미분가능한 점들의 집합을 A라 할 때 $x \in A$ 에 대하여

\[f'(x) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

를 f(x)의 도함수라 하며 f’(x) 또는 y’ 또는 $\cfrac{dy}{dx}$ 로 나타낸다. f(x)의 도함수를 구하는 것을 f(x)를 미분한다고 한다.

정리 7-1 $x^p$ 의 도함수

p가 임의의 실수일 때, $f(x) = x^p$ 의 도함수는 다음과 같다.

\[f'(x) = px^{p-1}\]

미분법의 기본 공식

정리 7-2 미분법의 기본공식

미분가능한 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. $(f(x)+g(x))’ = f’(x) + g’(x)$
  2. $(f(x)-g(x))’ = f’(x) - g’(x)$
  3. c가 상수일 때, $(cf(x))’ = cf’(x)$
  4. $(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$
  5. $\left(\cfrac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \cfrac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{(g(x))^2}$

7.2 합성함수와 매개변수함수의 미분

합성함수의 미분

두 함수 f(x)와 g(x)에 대하여 합성합수composite function는

\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\quad 또는\quad (f \circ g)(x) = f(g(x))\]

이다.

정리 7-3 연쇄법칙Chain Rule

미분가능한 두 함수 f(x)와 g(x)에 대하여 $F = g \circ f$ 이면, F는 미분가능한 함수이고 F의 도함수는

\[F'(x) = g'(f(x))f'(x)\]

이다.

정리 7-4 합성함수의 미분법
  1. $F(x) = (f(x))^n$ 이면, $F’(x) = n(f(x))^{n-1}\cdot f’(x)$ 이다.
  2. $F(x) = \sqrt[n]{f(x)} = (f(x))^{\cfrac{1}{n}}$ 이면, $F’(x) = \cfrac{1}{n}(f(x))^{\cfrac{1}{n}-1}\cdot f’(x)$ 이다.

매개변수함수의 미분

정의 7-4 매개변수함수

x, y가 매개변수 t에 의해

\[x = f(t),\quad y = g(t)\]

로 표현되면 이 함수를 매개변수함수라 한다.

정리 7-5 매개변수함수의 미분법

$x=f(t)$, $y=g(t)$ 가 모두 t에 대하여 미분가능하고 $f’(t) \neq 0$ 이면

\[\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{\cfrac{dy}{dt}}{\cfrac{dx}{dt}} = \cfrac{g'(t)}{f'(t)}\]

이다.

또 다른 방법으로 다음과 같다.

\[\cfrac{dy}{dt} = \cfrac{dy}{dx}\cdot\cfrac{dx}{dt}\]

연쇄법칙을 이용하면 복잡한 함수를 손쉽게 미분할 수 있다. 예를 들어 $y = (t^2 + 1)^3$ 을 t로 좀 더 쉽게 미분하려면, 우선 $t^2 + 1$ 을 x로 치환하여 주어진 식을 $y = x^3$ 으로 바꿔 쓴다. 그러면 $\cfrac{dy}{dx} = 3x^2$ 이고 $\cfrac{dx}{dt} = 2t$ 이므로 연쇄법칙에 따라 $\cfrac{dy}{dt} = \cfrac{dy}{dx}\cdot\cfrac{dx}{dt} = 3x^2 \cdot 2t = 3(t^2 + 1)^2 \cdot 2t = 6t(t^2 + 1)^2$ 을 얻을 수 있다.

7.3 지수함수와 로그함수의 미분

정리 7-6 지수함수와 로그함수의 미분법
  1. $y = e^x$ 이면, $y’ = e^x$ 이다.
  2. $y = \ln x$ 이면, $y’ = \cfrac{1}{x}$ 이다.
정리 7-7 연쇄법칙을 이용한 지수함수의 미분법

a가 1이 아닌 양수일 때, 지수함수의 미분법은 다음과 같다.

  1. $y = e^{f(x)}$ 이면, $y’ = e^{f(x)}\cdot f’(x)$ 이다.
  2. $y = a^x$ 이면, $y’ = a^x\cdot \ln a$ 이다.
  3. $y = a^{f(x)}$ 이면, $y’ = a^{f(x)}\cdot f’(x)\cdot \ln a$ 이다.
정리 7-8 연쇄법칙을 이용한 로그함수의 미분법

a가 1이 아닌 양수일 때, 로그함수의 미분법은 다음과 같다.

  1. $y = \ln f(x)$ 이면, $y’ = \cfrac{1}{f(x)}\cdot f’(x)$ 이다.
  2. $y = \log_a x$ 이면, $y’ = \cfrac{1}{x}\cdot \cfrac{1}{\ln a}$ 이다.
  3. $y = \log_a f(x)$ 이면, $y’ = \cfrac{1}{f(x)}\cdot f’(x) \cdot \cfrac{1}{\ln a}$ 이다.

7.4 삼각함수의 미분

정리 7-9 삼각함수의 미분법
  1. $y = \sin x$ 이면 $y’ = \cos x$ 이다.
  2. $y = \cos x$ 이면 $y’ = -\sin x$ 이다.
  3. $y = \tan x$ 이면 $y’ = \sec^2 x$ 이다.
정리 7-10 연쇄법칙을 이용한 삼각함수의 미분법
  1. $y = \sin f(x)$ 이면, $y’ = \cos f(x)\cdot f’(x)$ 이다.
  2. $y = \cos f(x)$ 이면, $y’ = -\sin f(x)\cdot f’(x)$ 이다.
  3. $y = \tan f(x)$ 이면, $y’ = \sec^2 f(x)\cdot f’(x)$ 이다.

Chapter 08 미분의 응용Application of differentiation

8.1 함수의 증가와 감소

임계점

정의 8-1 임계점

f(x)의 정의역에 속한 점 x = c 에서 $f’(c) = 0$ 이거나 f’(c) 가 존재하지 않을 때 x = c를 f(x)의 임계점critical point이라 한다.

증가와 감소

정의 8-2 함수의 증가와 감소

I가 구간이고, $f:I \to \mathbb{R}$ 이라 하자.

  1. I에서 $x_1 < x_2$ 인 모든 $x_1$ , $x_2$ 에 대하여 $f(x_1) < f(x_2)$ 이면, f(x)는 I에서 증가한다고 한다.
  2. I에서 $x_1 < x_2$ 인 모든 $x_1$ , $x_2$ 에 대하여 $f(x_1) > f(x_2)$ 이면, f(x)는 I에서 감소한다고 한다.
정리 8-1 함수의 증가와 감소

I가 구간이고, $f:I \to \mathbb{R}$ 이라 하자.

  1. I에 속한 모든 점 x에서 $f’(x) > 0$ 이면, f는 I에서 증가한다.
  2. I에 속한 모든 점 x에서 $f’(x) < 0$ 이면, f는 I에서 감소한다.
정리 8-2 증가 구간과 감소 구간 판별법

8.2 함수의 극대값과 극소값

극대값과 극소값

정의 8-3 극대값과 극소값

$c \in D$ 이고, $f:D \to \mathbb{R}$ 이라 하자.

  1. $c \in I \subset D$ 인 적당한 개구간 I가 존재하고 모든 $x \in I$ 에 대하여 $f(x) \leq f(c)$ 이면, f(x)는 x = c에서 극대값 f(c)를 갖는다고 한다.
  2. $c \in I \subset D$ 인 적당한 개구간 I가 존재하고 모든 $x \in I$ 에 대하여 $f(x) \geq f(c)$ 이면, f(x)는 x = c에서 극소값 f(c)를 갖는다고 한다.

극대값과 극소값을 통틀어 극값local extreme value이라 한다.

정리 8-3 극값 판정법

f(x)가 x = c에서 연속이고 x = c가 임계점이라 하자. x = c의 근방에서

  1. f’(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면, f(x)는 x = c에서 극대값 f(c)를 갖는다.
  2. f’(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면, f(x)는 x = c에서 극소값 f(c)를 갖는다.
  3. x = c의 근방에서 f’(x)의 부호가 바뀌지 않으면, f(x)는 x = c에서 극값을 갖지 않는다.

최대값과 최소값

정의 8-4 최대값과 최소값

$c \in D$ 이고, $f:D \to \mathbb{R}$ 이라 하자.

  1. 모든 $x \in D$에 대하여 $f(x) \leq f(c)$ 이면, f(x)는 x = c에서 최대값 f(c)를 갖는다고 한다.
  2. 모든 $x \in D$에 대하여 $f(x) \geq f(c)$ 이면, f(x)는 x = c에서 최소값 f(c)를 갖는다고 한다.
정리 8-4 최대, 최소 정리

f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, f(x)는 최대값과 최소값을 갖는다.

정리 8-5 최대값과 최소값을 구하는 방법

8.3 평균값 정리

롤의 정리

정리 8-6 롤의 정리Rolle’s theorem

f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능하며 f(a) = f(b) 이면, f’(c) = 0 인 c가 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

평균값 정리

정리 8-7 평균값 정리

f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능하면,

\[f'(c) = \cfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

인 c가 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

8.4 로피탈의 법칙

$\cfrac{0}{0}$ 꼴 부정형의 극한 계산

정리 8-8 $\cfrac{0}{0}$ 꼴 부정형에 대한 로피탈의 법칙

$\lim_{x \to a}\cfrac{f(x)}{g(x)}$ 에 대하여,

$\cfrac{\infty}{\infty} 꼴 부정형의 극한 계산

정리 8-9 $\cfrac{\infty}{\infty} 꼴 부정형에 대한 로피탈의 법칙

$\lim_{x \to a}\cfrac{f(x)}{g(x)}$ 에 대하여,

$0\cdot \infty$ 꼴 부정형의 극한 계산

정리 8-10 $0\cdot \infty$ 꼴 부정형에 대한 로피탈의 법칙

$\lim_{x \to a}f(x)g(x)$ 에 대하여,

Chapter 09 적분의 기초Basics of integration

9.1 부정적분

원시함수와 부정적분

정의 9-1 원시함수

$D \subset \mathbb{R}$ 이고 $f:D \to \mathbb{R}$ 이라 하자. 모든 $x \in D$ 에 대하여 $F’(x) = f(x)$ 인 함수 F(x)가 존재하면 F(x)를 f(x)의 원시함수라 하고 $F(x) = \int f(x)dx$ 로 나타낸다.

정의 9-2 부정적분

f(x)의 우너시함수 F(x)가 임의의 상수 C에 대하여 $(F(x)+C)’ = f(x)$ 를 만족할 때 이 관계식을 $F(x) + C = \int f(x)dx$ 로 표현한다. 이 때 F(x)+C를 f(x)의 부정적분이라 하고, f(x)의 부정적분을 구하는 것을 f(x)를 적분한다고 한다.

f(x)를 피적분함수, x를 적분변수, C를 적분상수라 한다.

부정적분의 기본 성질

정리 9-1 부정적분의 기본 공식
  1. $n \neq -1$ 일 때, $\int x^n dx = \cfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
  2. $\int x^{-1}dx = \int\cfrac{1}{x}dx = \ln{ x }+C$
  3. $\int e^x dx = e^x + C$
  4. $a > 0, a \neq 1$ 일 때, $\int a^x dx = \cfrac{a^x}{\ln{a}}+C
  5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$
  6. $\int \cos xdx = \sin x + C$
  7. $\int \sec^2 xdx = \tan x + C$
정리 9-2 부정적분의 성질
  1. $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$
  2. $\int (f(x)-g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$
  3. k가 실수일 때, $\int kf(x)dx = k \int f(x)dx$

9.2 치환적분과 부분적분

치환적분

정의 9-3 치환적분

F(x)가 f(x)의 한 원시함수일 때, 미분가능한 함수 g(x)에 대하여 t = g(x)로 놓으면 $\int f(g(x))g’(x)dx = \int f(t)dt = F(t)+C = F(g(x)) + C$ 이고, 이와 같은 적분을 치환적분이라 한다.

정리 9-3 치환할 함수 g(x)를 정하는 방법
  1. 피적분함수에 광호가 있는 경우 괄호 안의 함수를 g(x)로 놓는다.
  2. 피적분함수에 $\sqrt{}$ 가 있는 경우 $\sqrt{}$ 안의 함수를 g(x)로 놓는다.
  3. 피적분함수가 분수함수인 경우 분모의 전체 또는 일부를 g(x)로 놓는다.

부분적분

정의 9-4 부분적분

미분가능한 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 $\int f(x)g’(x)dx = f(x)g(x) - \int f’(x)g(x)dx$ 이고, 이와 같은 적분을 부분적분이라 한다.

정리 9-4 부분적분에서 f(x)와 g’(x)를 결정하는 방법

적분하기 어려운 함수 또는 미분하면 간단해지는 함수를 f(x)로 놓고 상대적으로 적분하기 쉬운 함수를 g’(x)로 놓는다.

9.3 삼각함수의 적분

정리 9-5 기본적인 삼각함수 공식
  1. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
  2. $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
  3. $\sin^2 x = \cfrac{1 - \cos 2x}{2}$
  4. $\cos^2 x = \cfrac{1 + \cos 2x}{2}$

$\int\sin^m x\cos^n xdx$ 의 계산

$\int\sin^m x\cos^n xdx$ 를 계산할 때는 m과 n이 홀수인지 짝수인지를 먼저 확인하고 적절한 적분 방법을 선택해야 한다.

m과 n이 모두 홀수인 경우

$\int\sin^m x\cos^n xdx$ 를 $\int\sin^m x\cos^{n-1} x\cos xdx$ 또는 $\int\sin^{m-1} x\cos^n x\sin xdx$ 로 변형한 후 치환적분을 이용한다.

$\int\sin^m x\cos^{n-1} x\cos xdx$

$\cos^2x = 1 - \sin^2 x$ 를 이용하여 $\cos^{n-1}x$ 를 사인함수로 나타낸 다음, $\sin x = t$ 로 치환하면 적분을 계산할 수 있다.

$\int\sin^{m-1} x\cos^n x\sin xdx$

$\sin^2x = 1 - \cos^2x$ 를 이용하여 $\sin^{m-1}x$ 를 코사인함수로 나타낸 다음, $\cos x = t$ 로 치환하면 적분을 계산할 수 있다.

m과 n 중 하나는 홀수, 나머지 하나는 짝수인 경우

지수가 홀수인 삼각함수를 변형하여 다음과 같이 부정적분을 계산한다.

m이 홀수, n이 짝수인 경우
\[\int\sin^mx\cos^nxdx = \int\sin^{m-1}x\cos^nx\sin xdx\]
m이 짝수, n이 홀수인 경우
\[\int\sin^mx\cos^nxdx = \int\sin^mx\cos^{n-1}x\cos xdx\]
m과 n이 모두 짝수인 경우

$\sin^2x = \cfrac{1 - \cos 2x}{2}$ 와 $\cos^2x = \cfrac{1 + \cos 2x}{2}$ 를 이용하여 삼각함수의 차수를 낮추어 부정적분을 계산한다.

$\int \sin mx \cos nx dx$ , $\int \sin mx \sin nxdx$ , $\int \cos mx \cos nxdx$ 의 계산

정리 9-6 삼각함수의 곱을 합 또는 차로 표현하는 공식
  1. $\sin mx \cos nx = \cfrac{1}{2}\left(\sin(m+n)x + \sin(m-n)x\right)$
  2. $\sin mx \sin nx = -\cfrac{1}{2}\left(\cos(m+n)x - \cos(m-n)x\right)$
  3. $\cos mx \cos nx = \cfrac{1}{2}\left(\cos(m+n)x + \cos(m-n)x\right)$

9.4 부분분수적분

f(x)의 차수가 g(x)의 차수보다 크거나 같은 경우

다항함수의 나눗셈을 이용하면

\[\cfrac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \cfrac{r(x)}{g(x)}\]

로 나타낼 수 있고, 위 식의 양변에 적분을 취한

\[\int \cfrac{f(x)}{g(x)}dx = \int q(x)dx + \int \cfrac{r(x)}{g(x)}dx\]

를 이용하여 부정적분을 계산한다.

f(x)의 차수가 g(x)의 차수보다 작은 경우

$\int \cfrac{f(x)}{g(x)}dx$ 를 계산할 때 f(x)의 차수가 g(x)의 차수보다 작은 경우, 분모인 g(x)를 인수분해한 다음, 인수 개수만큼 $\cfrac{f(x)}{g(x)}$ 를 부분분수로 나누어 다음 방법으로 부정적분을 계산한다. $\int \cfrac{1}{x^2-3x+2}dx$ 를 구하는 과정은 다음과 같다.

\[\cfrac{1}{x^2-3x+2} = \cfrac{1}{(x-1)(x-2)} = \cfrac{A}{x-1}+\cfrac{B}{x-2}\] \[\cfrac{1}{(x-1)(x-2)} = \cfrac{(A+B)x+(-2A-B)}{(x-1)(x-2)}\]

연립방정식을 풀면 A = -1, B = 1 이다.

\[\int \cfrac{1}{x^2-3x+2}dx = \int \cfrac{-1}{x-1}dx + \cfrac{1}{x-2}dx = -\ln{|x-1|} +\ln{|x-2|} + C\]

Chapter 10 적분의 응용Application of integration

10.1 정적분

정적분

정의 10.1 정적분

구간 [a, b]를 길이가 $\Delta x = \cfrac{b-a}{n}$ 인 소구간으로 분할하고, 소구간의 끝점을 차례로 $x_0 = a, x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n = b$ 라 놓는다. $1 \leq i \leq n$ 일 때 소구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 에서 한 점 $w_i$ 를 선택한다. $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ 이 구간 [a, b]에서 연속일 때,

\[\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(w_i)\Delta x\]

를 구간 [a, b]에서 f(x)의 정적분이라 하고

\[\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(w_i)\Delta x\]

로 나타낸다.

[정의 10.1]에서 a를 정적분의 적분 하한, b를 적분 상한이라 하고 구간 [a, b]를 적분 구간이라 한다.

정리 10-1 시그마 공식
  1. $\sum_{i=1}^n i = 1+2+3+\cdots+n = \cfrac{n(n+1)}{2}$
  2. $\sum_{i=1}^n i^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
  3. $\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(\cfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$
정리 10-2 시그마의 기본 성질
  1. $\sum_{i=1}^n (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=1}^n b_i$
  2. $\sum_{i=1}^n (a_i - b_i) = \sum_{i=1}^n a_i - \sum_{i=1}^n b_i$
  3. c가 상수일 때, $\sum_{i=1}^n c = c \cdot n$
  4. c가 상수일 때, $\sum_{i=1}^n ca_i = c \sum_{i=1}^n a_i$
정리 10-3 정적분 표현 공식
  1. $\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f\left(\cfrac{1}{n}\right)\cfrac{1}{n} = \int_0^1 f(x)dx$
  2. $\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^nf\left(a+(b-a)\cfrac{1}{n}\right)\cfrac{(b-a)}{n} = \int_a^b f(x)dx$
정의 10-2 적분 구간이 특별한 경우의 정적분
  1. 적분 상한과 적분 하한이 같은 경우
\[\int_a^a f(x)dx = 0\]
  1. 적분 상한과 적분 하한이 맞바뀌는 경우
\[\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx\]

정적분의 기본 성질

정리 10-4 정적분의 기본 성질

f(x)와 g(x)가 구간 [a, b]에서 적분 가능할 때 다음이 성립한다.

  1. $\int_a^b (f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$
  2. $\int_a^b(f(x)-g(x))dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx$
  3. k가 상수일 때, $\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$
  4. $\left \int_a^b f(x)dx\right \leq \int_a^b f(x) dx$
  5. $c \in (a, b)$ 일 때, $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

10.2 미적분학의 기본정리

미적분학의 제1 기본정리

정리 10-5 미적분학의 제1 기본정리

f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 $x \in [a, b]$에 대하여

\[F(x) = \int_a^x f(t)dt\]

이면 F’(x) = f(x)이다.

정리 10-6 미적분학의 제1 기본정리의 확장
  1. f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고, g(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하며 $x \in [a, b]$에 대하여 $F(x) = \int_a^{g(x)}f(t)dt$ 이면 F’(x) = f(g(x))g’(x) 이다.
  2. f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고, g(x)와 h(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하며 $x \in [a, b]$ 에 대하여 $F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt$ 이면 $F’(x) = f(g(x))\cdot g’(x) - f(h(x))\cdot h’(x)$ 이다.

미적분학의 제2 기본정리

정리 10-7 미적분학의 제2 기본정리

f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 F(x)가 f(x)의 원시함수이면

\(\int_a^b f(x)dx = F(x)\bigg|_ a^b = F(b)-F(a)\) 이다.

10.3 영역의 넓이

함수와 x축 사이의 넓이

$y = f(x)$ 가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 구간 [a, b]에서 함수 $y = f(x)$ 와 x 축 사이의 넓이는

\[A = \int_a^b |f(x)|dx\]

이다.

정리 10-8 $\int_a^b |f(x)|dx$ 를 구하는 방법

구간 [a, b]에 f(x) = 0인 x가 없는 경우, 구간 내 하나의 x를 선택하여 f(x)의 부호를 판정한 후, 3단계를 수행한다.

정리 10-9 $\int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)|dx$ 를 구하는 방법
구간 [a, b]에서 두 함수 사이의 넓이

구간 [a, b]에서 두 함수 y = f(x)와 y = g(x) 사이의 넓이는 다음과 같다.

\[\int_a^b |f(x) - g(x)|dx\]
정리 10-10 $\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$ 를 구하는 방법

10.4 이상적분

미적분학의 기본정리를 이용하여 정적분 $\int_a^b f(x)dx$ 를 구하려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.

위의 두 조건을 만족하지 않을 때 사용할 수 있는 적분법을 세 가지로 나누어 살펴보자.

  1. 적분 구간이 무한하고 피적분함수가 해당 구간에서 연속이다.
  2. 적분 구간이 유한하고 피적분함수가 구간 내 어떤 x에서 발산한다.
  3. 적분 구간이 무한하고 피적분함수가 구간 내 어떤 x에서 발산한다.

위의 세 가지 경우에 해당하는 적분을 이상적분improper integral 또는 특이적분이라 한다.

적분구간이 무한하고 피적분함수가 연속일 때 이상적분
정의 10-3 이상적분: 적분 구간이 무한하고 피적분함수가 연속
  1. 구간 $[a, \infty)$ 에서 f(x) 연속일 때, 이상적분 $\int_a^{\infty} f(x)dx$ 는
\[\int_a^{\infty} f(x)dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)dx\]

로 정의한다.

  1. 구간 $(-\infty, b]$ 에서 f(x)가 연속일 때, 이상적분 $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ 는
\[\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{s \to \infty}\int_s^b f(x)dx\]

로 정의한다.

  1. 구간 $(-\infty, \infty)$ 에서 f(x)가 연속이 ㄹ때, 이상적분 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx$ 는 실수 c에 대하여
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{\infty} f(x)dx = \lim_{s \to -\infty}\int_s^c f(x)dx + \lim_{t \to \infty}\int_c^t f(x)dx\]

로 정의한다.

적분 구간이 유한하고 피적분함수가 구간 내 어떤 x에서 발산할 때 이상적분
정의 10-4 이상적분: 적분 구간이 유한하고 피적분함수가 구간 내 어떤 x에서 발산

구간 [a, b] 내의 x = c에서 $\lim_{x \to c^-}f(x) = \pm\infty$ 또는 $\lim_{x \to c^+}f(x) = \pm\infty$ 일 때, 이상적분 $\int_a^b f(x)dx$ 는

\[\int_a^b f(x)dx = \lim_{s \to c^-}\int_a^s f(x)dx + \lim_{t \to c^+}\int_t^b f(x)dx\]

로 정의한다.

적분 구간이 무한하고 피적분함수가 구간 내 어떤 x에서 발산할 때 이상적분
정의 10-5 이상적분: 적분 구간이 무한하고 피적분함수가 구간 내 어떤 x에서 발산

구간 $(-\infty, \infty)$ 내의 x = c에서 $\lim_{x \to c^-} f(x) = \pm \infty$ 또는 $\lim_{x \to c^+}f(x) = \pm\infty$ 일 때 이상적분 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ 는

\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \lim_{t \to -\infty,\\\ s \to c^-}\int_t^s f(x)dx + \lim_{p \to c^+,\\\ q \to \infty}\int_p^q f(x)dx\]

로 정의한다.

Chapter 11 다변수함수의 미분과 적분Differentiation and integration of multivariate function

11.1 다변수 함수

일반적으로 n개의 독립변수 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 을 단 하나의 값 s에 대응하는 대응 규칙 f를 n 변수함수라 하고

\[s = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)\]

으로 나타낸다. 또한 n이 2 이상의 자연수일 때의 n 변수함수를 다변수함수라 한다.

정의 11-1 이변수함수

2개의 독립변수 x와 y를 단 하나의 실수 z에 대응하는 규칙을 z = f(x, y) 로 나타내고 f를 이변수함수function of two variables라 한다. 이 때 z를 종속변수dependent variable라 한다.

11.2 편도함수

편도함수

정의 11-2 편도함수

z = f(x, y)라 하자.

  1. x에 대한 f의 편도함수partial derivative of f with respect to x는 다음과 같이 정의한다.
\[f_x(x, y) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\]
  1. y에 대한 f의 편도함수partial derivative of f with repect to y는 다음과 같이 정의한다.
\[f_y(x, y) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f(x, y+h)-f(x, y)}{h}\]

z = f(x, y)에 대하여, x에 대한 f의 편도함수를 다음과 같이 다양하게 표현할 수 있다.

\[f_x,\quad f_x(x, y),\quad \cfrac{\partial f}{\partial x},\quad \cfrac{\partial}{\partial x}f(x, y),\quad z_x,\quad \cfrac{\partial z}{\partial x}\]
정리 11-1 이변수함수의 편도함수를 쉽게 구하는 방법

z = f(x, y)에 대하여

  1. 편도함수 $f_x$ 는 y를 상수로 간주하고 x에 대해 미분하여 구한다.
  2. 편도함수 $f_y$ 는 x를 상수로 간주하고 y에 대해 미분하여 구한다.

2계 편도함수

z = f(x, y)에 대하여, $f_x$ 와 $f_y$ 는 f(x, y)를 한 번 편미분한 것으로 1계 편도함수라 한다. 1계 편도함수를 한 번 더 편미분하면 2계 편도함수 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$ 를 얻을 수 있다.

정리 11-2 2계 편도함수 표기법

z = f(x, y)일 때 2계 편도함수second order partial derivative는 다음과 같이 표기한다.

  1. $f_{xx} = \cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial f}{\partial x}\right) = \cfrac{\partial^2f}{\partial x^2}$
  2. $f_{xy} = \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial f}{\partial x}\right) = \cfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$
  3. $f_{yx} = \cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \cfrac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$
  4. $f_{yy} = \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \cfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

전미분

정의 11-3 전미분

z = f(x, y)일 때, 전미분total differential dz를 다음과 같이 정의한다.

\[dz = f_x(x, y)dx + f_y(x, y)dy = \cfrac{\partial z}{\partial x}dx + \cfrac{\partial z}{\partial y}dy\]

11.3 합성함수의 편미분법

x, y가 일변수함수인 경우

x, y가 모두 t에 대한 일변수함수일 때, z = f(x, y)를 편미분하려면 일변수함수와 마찬가지로 연쇄법칙을 적용해야 한다.

정리 11-3 합성함수의 편미분법: x, y가 t에 대한 일변수함수인 경우

z = f(x, y)가 편미분가능하고 x = g(t), y = h(t)가 미분가능할 때 다음이 성립한다.

\[\cfrac{dz}{dt} = \cfrac{\partial z}{\partial x}\cdot\cfrac{dx}{dt}+\cfrac{\partial z}{\partial y}\cdot\cfrac{dy}{dt}\]
x, y가 이변수함수인 경우
정리 11-4 합성함수의 편미분법: x, y가 t, s에 대한 이변수함수인 경우

z = f(x, y)가 편미분가능하고 x = g(t, s), y = h(t, s)가 모두 편미분가능할 때 다음이 성립한다.

\[\cfrac{\partial z}{\partial t} = \cfrac{\partial z}{\partial x}\cdot\cfrac{\partial x}{\partial t} + \cfrac{\partial z}{\partial y}\cdot\cfrac{\partial y}{\partial t}\\\ \ \cfrac{\partial z}{\partial s} = \cfrac{\partial z}{\partial x}\cdot\cfrac{\partial x}{\partial s} + \cfrac{\partial z}{\partial y}\cdot\cfrac{\partial y}{\partial s}\]

11.4 이중적분

정의 11-4 이중적분

영역 $R \subset \mathbb{R}^2$ 1 에서 z = f(x, y)의 적분은

\[\int_R f(x, y)dA = \iint_R f(x, y)dxdy = \iint_R f(x, y)dydx\]

로 나타낸다. 이를 이중적분 또는 반복적분이라 한다.

영역에 따른 이중적분

직사각형 영역에서의 이중적분
정리 11-5 이중적분: R이 직사각형 영역인 경우

영역 $R = \{(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}$ 에서 z = f(x, y)의 이중적분은 다음과 같다.

\[\int_R f(x, y)dA = \int_c^d\int_a^b f(x, y)dxdy = \int_a^b\int_c^d f(x, y)dydx\]

여기에서 $\int_c^d\int_a^b f(x, y)dxdy = \int_c^d\left(\int_a^b f(x, y)dx\right)dy$ 이고 $\int_a^b\int_c^d f(x, y)dydx = \int_a^b\left(\int_c^d f(x, y)dy\right)dx$ 이다.

y의 적분 구간에서 변수가 있는 경우의 이중적분
정리 11-6 이중적분: y의 적분 구간에 변수가 있는 경우

영역 $R = \{(x, y): a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$ 에서 z = f(x, y)의 이중적분은 다음과 같다.

\[\int_R f(x, y)dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x, y)dydx\]
x의 적분 구간에 변수가 있는 경우의 이중적분
정리 11-7 이중적분: x의 적분 구간에 변수가 있는 경우

영역 $R = \{(x, y):h_1(y) \leq x x \leq h_2(y), c \leq y \leq d\}$ 에서 z = f(x, y)의 이중적분은 다음과 같다.

\[\int_R f(x, y)dA = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x, y)dxdy\]

Chapter 12 벡터 함수Vector function

Kreyszig 공업수학에서는 chapter 9에서 벡터함수가 나온다. Laplace 변환은 chpater 6에서 나오는 것을 보면, 이 책과 주제의 배치 순서가 다르다. 이 책에서는 Laplace 변환은 Chapter 14, 벡터함수는 chapter 12에 있다.

12.1 벡터와 벡터함수

정리 12-1 성분을 이용한 벡터 a의 표현
  1. 2차원 공간의 평면벡터 a는 $a = <a_1, a_2>$ 로 나타낸다. 여기서 $a_1, a_2$ 를 a의 성분이라고 한다.
  2. 3차원 공간의 공간벡터 a는 $a = <a_1, a_2, a_3>$ 로 나타낸다. 여기서 $a_1, a_2, a_3$ 를 a의 성분이라고 한다.

성분을 이용하여 $a = <a_1, a_2, a_3>$ 의 크기를 나타내면 다음과 같다.

\[\\|a\\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]
정의 12-1 단위벡터unit vector

$a = <a_1, a_2, a_3>$ 일 때 $\|a\| = 1$ 이면, a를 단위벡터라 한다.

3차원 공간에서 한 성분이 1이고 나머지 성분이 0인 다음의 세 단위벡터를 표준단위벡터라 한다.

\[i = \<1, 0, 0\>,\quad j=\<0, 1, 0\>,\quad k=\<0, 0, 1\>\]
벡터의 내적
정의 12-2 내적

두 벡터 $a = <a_1, a_2, a_3>,\quad b = <b_1, b_2, b_3>$ 에 대하여 a와 b가 이루는 각이 $\theta$ 일 때, a와 b의 내적inner product은 $a \cdot b$ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

\[a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = \\|a\\|\\|b\\|\cos\theta\]

영벡터가 아닌 두 벡터 a, b가 이루는 각 $\theta$ 에 대하여 다음이 성립한다.

\[\cos\theta = \cfrac{a \cdot b}{\\|a\\|\\|b\\|}\]

벡터함수

하나의 실수 t에 대하여 하나의 벡터가 대응하는 벡터함수에 대해 알아보자. 공학에서 가장 많이 사용하는 3차원 벡터함수 r(t)는 다음과 같다.

\[r(t) = \<f(t), g(t), h(t)\> = f(t)i + g(t)j + h(t)k\]

이 때 f(t), g(t), h(t)를 벡터함수 r(t)의 성분함수라 하고, t = a에서 r(t)의 함수값인 $r(a) = <f(a), g(a), h(a)>$ 를 t = a에서의 위치벡터라 한다.

벡터함수의 정의역

벡터함수 r(t) = <f(t), g(t), h(t)> 가 정의되려면 f(t), g(t), h(t)가 모두 정의되어야 한다. 즉, r(t)의 정의역은 성분함수인 f(t), g(t), h(t)의 정의역의 교집합이다.

벡터함수의 극한과 연속

정의 12-3 벡터함수의 극한

r(t) = <f(t), g(t), h(t)> 일 때, t = a에서 r(t)의 극한은 다음과 같이 정의한다.

\[\lim_{t \to a}r(t) = <\lim_{t \to a}f(t), \lim_{t \to a}g(t), \lim_{t \to a}h(t)>\]

$lim_{t \to a}f(t), \lim_{t \to a}g(t), \lim_{t \to a}h(t)$ 중 어느하나라도 존재하지 않으면 $\lim_{t \to a}r(t)$ 는 존재하지 않는다고 판정한다.

정의 12-4 벡터함수의 연속

벡터함수 r(t)가 다음 세 조건을 모두 만족하면 r(t)는 t = a에서 연속이라 한다.

  1. $\lim_{t \to a} r(t)$ 가 존재한다
  2. r(a)가 존재한다
  3. $\lim_{t \to a}r(t) = r(a)$ 가 성립한다

벡터함수의 미분과 적분

정의 12-5 벡터함수의 도함수

벡터함수 r(t)의 도함수는 다음과 같이 정의한다.

\[r'(t) = \lim_{h \to 0}\cfrac{r(t + h) - r(t)}{h}\]

이 때 r’(t)를 r(t)의 접선벡터tangent vector라고도 한다.

정리 12-2 벡터함수의 도함수를 구하는 방법

벡터함수 r(t) = <f(t), g(t), h(t)>의 도함수는 다음과 같다.

\[r'(t) = \<f'(t), g'(t), h'(t)\>\]

r(t)의 도함수의 r’(t)의 크기는

\[\\|r'(t)\\| = \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2+h'(t)^2}\]

이며, 벡터함수의 도함수를 그 크기로 나눈 함수인

\[T(t) = \cfrac{r'(t)}{\\|r'(t)\\|}\]

를 단위접선벡터unit tangent vector라고 한다.

정의 12-6 벡터함수의 정적분

r(t) = <f(t), g(t), h(t)> 일 때, 구간 [a, b]에서 벡터함수 r(t)의 정적분은 다음과 같이 정의한다.

\[\int_a^b r(t)dt = \<\int_a^b f(t)dt, \int_a^b g(t)dt, \int_a^b h(t)dt\>\]

r(t)의 부정적분은 $\int r(t)dt$ 로 나타낸다.

12.2 공간에서의 속도와 가속도

속도벡터와 가속도벡터

물체의 위치를 원점에서 물체까지의 직선거리와 방향으로 나타낸 벡터를 위치벡터position vector라 한다. 다음 그림과 같이 공간에서 움직이는 어떤 물체의 위치벡터가 시간에 대한 벡터함수로 표현된다고 하자.

그림 12-4에서 물체는 시각 t일 때 점 P를 지나 곡선 C를 따라 운동하여 시각 t+h일 때 점 Q를 지난다. 평균속도average velocity란 시간에 대한 위치 변화량의 비율이므로 시각 t에서 t+h까지 물체의 평균속도를 다음과 같이 벡터로 나타낸다.

\[\text{[t, t+h]에서 물체의 평균 속도} = \cfrac{r(t+h)-r(t)}{(t+h)-t} = \cfrac{r(t+h)-r(t)}{h}\]

또한 시간 간격 h가 0에 가까워질수록 평균속도 $\cfrac{r(t+h)-r(t)}{h}$ 는 시각 t일 때의 순간 속도instantaneous velocity, 즉 접선 벡터 r’(t)에 가까워진다. 시각 t에 대한 속도벡터와 가속도 벡터는 다음과 같이 정의한다.

정의 12-7 속도벡터와 가속도벡터

시각 t에 대한 위치벡터가 r(t)일 때, 속도벡터velocity vector v(t)와 가속도벡터acceleration vector a(t)는 다음과 같다.

\[\begin{aligend} v(t) &= \lim_{h \to 0}\cfrac{r(t+h)-r(t)}{h} = r'(t)\\\ \ a(t) &= \lim_{h \to 0}\cfrac{v(t+h)-v(t)}{h} = v'(t) = r''(t) \end{aligend}\]

법선벡터

공간에서의 위치벡터 r(t)에 대하여 단위접선벡터 $T(t) = \cfrac{r’(t){\|r’(t)\|}}$ 는 $\|T(t)\| = 1$ 을 만족한다. 따라서 내적의 정의에 의해 $T(t)\cdot T(t) = 1$ 이고 이 식을 t에 대하여 미분하면

\[T'(t) \cdot T(t) + T(t) \cdot T'(t) = 0\]

이므로 $T(t)\cdot T’(t) = 0$ 이다. 따라서 벡터의 직교성에 의해 T(t)와 T’(t)는 서로 직교한다. 이 때 T’(t)를 T(t)의 법선벡터narmal vector라 하고

\[N(t) = \cfrac{T'(t)}{\\|T'(t)\\|}\]

를 단위법선벡터unit normal vector라 한다.

12.3 벡터장

정의 12-8 벡터장의 정의
  1. D가 $\mathbb{R}^2$ 의 부분집합일 때, D에 속하는 점 (x, y)를 평면벡터에 대응시키는 함수 F를 $\mathbb{R}^2$ 위의 벡터장vector field 이라 한다.
  2. D가 $\mathbb{R}^3$ 의 부분집합일 때, D에 속하는 점 (x, y, z)를 공간벡터에 대응시키는 함수 F를 $\mathbb{R}^3$ 위의 벡터장이라 한다.

1에서 설명한 $\mathbb{R}^2$ 위의 벡터장은 다음과 같은 형태이다.

\[F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j\]

마찬가지로 2에서 설명한 $\mathbb{R}^3$ 위의 벡터장은 다음과 같은 형태이다.

\[F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k\]
12-9 기울기 벡터장Gradient vector field
  1. f가 두 변수 x, y에 대한 스칼라함수일 때, f의 기울기 벡터장 또는 그래디언트 벡터장gradient vector field은 $\nabla f(x, y)$ 2 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.
\[\nabla f(x, y) = \<f_x(x, y), f_y(x, y)\> = \cfrac{\partial f}{\partial x}i + \cfrac{\partial f}{\partial y}j\]
  1. f가 세 변수 x, y, z에 대한 스칼라함수일 때, f의 기울기 벡터장 또는 그래디언트 벡터장은 $\nabla f(x, y, z)$ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.
\[\nabla f(x, y, z) = \<f_x(x, y, z), f_y(x, y, z), f_z(x, y, z)\> = \cfrac{\partial f}{\partial x}i + \cfrac{\partial f}{\partial y}j + \cfrac{\partial f}{\partial z}k\]

벡터장의 회전

정의 12-10 벡터장의 회전

벡터장 F = <P, Q, R> 에 대하여 벡터장

\[\text{curl} F = \<R_y - Q_z, P_z-R_x, Q_x-P_z\>\]

를 F의 회전curl 이라 한다.

벡터장의 발산

정의 12-11 벡터장의 발산

벡터장 F = <P, Q, R>에 대하여 스칼라함수

\[\text{div} F = P_x + Q_y + R_z\]

를 F의 발산divergence이라 한다.

벡터장 F의 발산은 다음과 같이 그래디언트와 F의 내적으로도 나타낼 수 있다.

\[\text{div} F = \nabla \cdot F\]

12.4 선적분

선적분의 정의

정적분 $\int_a^b f(x)dx$ 는 기본적으로 선분 형태의 구간 [a, b]에서 정의한다. 이 적분을 임의의 곡선에 대해 일반화한 것이 선적분line integra이다.

매개변수로 정의된 곡선 $C: \begin{cases}x = f(t)\\ \ y = g(t)\end{cases},\quad a \leq t \leq b$ 에 대하여 f’(t)와 g’(t)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 그 값이 동시에 0이 아니면 C를 매끄러운 곡선smooth curve이라 한다. 이 때 f(a) = f(b)와 g(a) = g(b)를 만족하면 C를 폐곡선closed curve이라 한다.

정의 12-12 선적분

$C: \begin{cases}x = f(t)\\ \ y = g(t)\end{cases},\quad a \leq t \leq b$ 가 평면상의 매끄러운 곡선이고 F는 C를 포함한 평면 위에 정의된 x, y에 대한 이변수 함수라 하자. 또한 $x_i = f(t_i), y_i = g(t_i)\quad (0 \leq i \leq n)$ 라 하자.

매끄러운 곡선 C를 $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b$ 에 따라 호의 길이가 $\Delta s_i (0 \leq i \leq n)$ 인 n 개의 부분호로 분할하면 부분호의 x축과 y축에 해당하는 구간 길이는 각각 $\Delta x_i, \Delta y_i$ 이다. 이때 i번째 부분호에서 임의의 점 $(x_i^* , y_i^* )$ 를 선택한다.

  1. 곡선 C를 따르는 x에 대한 함수 F의 선적분은 다음과 같다.
\[\int_C F(x, y)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n F(x_i^* , y_i^* )\Delta x_i\]
  1. 곡선 C를 따르는 y에 대한 함수 F의 선적분은 다음과 같다.
\[\int_C F(x, y)dy = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n F(x_i^* , y_i^* )\Delta y_i\]
  1. 곡선 C를 따르는 호의 길이 s에 대한 함수 F의 선적분은 다음과 같다.
\[\int_C F(x, y)ds = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n F(x_i^* , y_i^* )\Delta s_i\]

곡선에 따른 선적분 방법

정리 12-3 선적분 계산방법: 매개변수로 정의된 매끄러운 곡선

$C: \begin{cases}x = f(t)\\ \ y = g(t)\end{cases},\quad a \leq t \leq b$ 로 정의된 매끄러운 곡선이면 선적분은 다음과 같이 계산한다.

  1. $\int_C F(x, y)dx = \int_a^b F(f(t), g(t))f’(t)dt$
  2. $\int_C F(x, y)dy = \int_a^b F(f(t), g(t))g’(t)dt$
  3. $\int_C F(x, y)ds = \int_a^b F(f(t), g(t))\sqrt{(f’(t))^2+(g’(t))^2}dt$
정리 12-4 선적분 계산방법: 양함수로 정의된 매끄러운 곡선

C가 양함수 $y = f(x),\quad a \leq x \leq b$ 로 정의된 매끄러운 곡선이면 선적분은 다음과 같이 계산한다.

  1. $\int_C F(x, y)dx = \int_a^b F(x, f(x))dx$
  2. $\int_C F(x, y)dy = \int_a^b F(x, f(x))f’(x)dx$
  3. $\int_C F(x, y)ds = \int_a^b F(x, f(x))\sqrt{1+(f’(x))^2}dx
C가 폐곡선일 때의 선적분

C가 폐곡선일 때의 선적분 $\int_C Pdx + Qdy$ 는 $\oint_C Pdx + Qdy$ 로 나타낸다.

선적분의 물리적 의미

매끄러운 곡선 C가 $C: \begin{cases}x = f(t)\\ \ y = g(t)\end{cases},\quad a \leq t \leq b$ 일 때 벡터장을 $F(x, y) = <P(x, y), Q(x, y)>$ 라 하자. C를 따라 F(x, y)가 한 일 W는 다음과 같이 정의한다.

\[W = \int_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \int_C F \cdot dr = \int_C F \cdot r'(t)dt\]

Chapter 13 미분방정식의 기초Basics of differential equation

13.1 미분방정식

미분방정식의 정의

정의 13-1 미분방정식

하나 이상의 도함수가 포함된 방정식을 미분방정식이라 한다.

미분방정식의 분류

독립변수의 개수에 따른 미분방정식의 분류

미분 방정식은 독립 변수의 개수에 따라 상미분방정식과 편미분방정식으로 분류한다.

정의 13-2 상미분방정식

독립변수가 단 하나뿐인 미분방정식을 상미분방정식이라 한다.

정의 13-3 편미분방정식

독립변수가 두 개 이상인 미분방정식을 편미분방정식이라 한다.

정리 13-1 미분방정식에서 ‘d’와 ‘ $\partial$ ‘의 차이점
  1. $\cfrac{dy}{dx}$ 항이 있는 미분방정식은 독립변수 x만을 갖는 상미분방정식임을 의미한다.
  2. $\cfrac{\partial y}{\partial x}$ 항이 있는 미분방정식은 x 이외에 적어도 하나 이상의 독립변수를 더 갖는 편미분방정식임을 의미한다.
계수에 따른 미분방정식의 분류

y를 x에 대하여 한 번 미분한 $\cfrac{dy}{dx}$ 는 x에 대한 y의 1계 도함수라 한다. 1계 도함수를 x에 대하여 한 번 더 미분하면 이를 x에 대한 y의 2계 도함수라 하고 $\cfrac{d}{dx}\left(\cfrac{dy}{dx}\right) = \cfrac{d^2y}{dx^2}\quad \text{또는}\quad y’’$ 으로 나타낸다. 같은 방법으로 n이 자연수일 때 y를 x에 대하여 n번 미분한 함수를 x에 대한 y의 n계 도함수라 하고 $\cfrac{d^ny}{dx^n}\quad\text{또는}\quad y^{(n)}$ 으로 나타낸다.

정의 13-4 미분방정식의 계수

미분 방정식에서 각 항의 도함수의 계수 중 가장 큰 값을 그 미분방정식의 계수라 한다.

정의 13-5 미분방정식의 차수

주어진 미분방정식에서 계수를 결정하는 도함수의 거듭제곱 횟수를 그 미분방정식의 차수라 한다.

정의 13-5에 의하여 미분방정식의 차수를 구하려면 우선 미분방정식의 계수를 결정하는 항을 찾은 후 그 항이 몇 번 곱해졌는가를 확인해야 한다. 예를 들어 미분방정식 $\left(\cfrac{dy^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\cfrac{dy}{dx}\right)^4 + 5y = 0$ 의 계수와 차수를 구해보자. 좌변에 있는 각 항의 도함수의 계수는 차례대로 2, 1, 0이므로 미분방정식의 계수는 2이고, 계수를 결정하는 항은 $\left(\cfrac{dy^2y}{dx^2}\right)^3$ 이므로 미분방정식의 차수는 3이다.

선형성에 따른 미분방정식의 분류
정의 13-6 선형 미분방정식

미분방정식

\[a_n(x)\cfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\cfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots +a_1(x)\cfrac{dy}{dx}+a_0(x)y = f(x)\]

가 다음 두 조건을 모두 만족하면 주어진 미분방정식을 선형 미분방정식linear differential equation이라 한다.

  1. $a_n(x),\quad a_{n-1}(x),\quad \cdots,\quad a_1(x),\quad a_0(x),\quad f(x)$가 모두 x만의 함수이다.
  2. y와 도함수 $y’,\quad y’’,\quad, \cdots,\quad y^(n)$ 의 차수가 모두 1이다.

만일 두 조건 중 어느 하나라도 만족하지 않으면 주어진 미분방정식을 비선형 미분방정식nonlinear differential equation이라 한다.

13.2 미분방정식의 해

정의 13-7 미분방정식의 해

구간 I에서 연속인 도함수를 갖는 함수 f에 대하여 f를 미분방정식에 대입하였을 때 미분방정식의 등식이 성립하면, f를 구간 I에서 미분방정식의 해라 부른다.

정의 13-8 자명한 해와 비자명한 해
  1. 구간 I에서 상수함수 y = 0이 미분방정식의 해가 되면 y = 0을 미분방정식의 자명한 해trivial solution라 한다.
  2. 미분방정식의 자명한 해 y = 0이 아닌 해를 미분방정식의 비자명한 해nontrivial solution라 한다.
정의 13-9 일반해와 특수해
  1. 임의의 상수 c를 포함하는 미분방정식의 해를 그 미분방정식의 일반해라 한다.
  2. 임의의 상수 c를 포함하지 않는 미분방정식의 해를 그 미분방정식의 특수해라 한다.
정의 13-10 초기값 문제와 경계값 문제

a와 b가 서로 다른 상수이고 구간 I에 다음과 같은 2계 선형 미분방정식이 주어졌다고 하자.

\[a_2(x)\cfrac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\cfrac{dy}{dx}+a_0(x)y = f(x)\]
  1. $y(a) = \alpha_1, y’(a) = \alpha_2$ 와 같은 추가적인 조건을 초기조건이라 하고, 초기조건이 주어진 미분방정식의 해를 구하는 문제를 초기값 문제라 한다.
  2. $y(a) = \beta_1, y(b) = \beta_2$ 와 같은 추가적인 조건을 경게조건이라 하고 경계조건이 주어진 미분방정식의 해를 구하는 문제를 경계값 문제라 한다.

13.3 완전 미분방정식

변수분리형 미분방정식

1계 미분방정식 $y’ = F(x, y)$ 에서 F(x, y)가 f(x)g(y) 꼴로 표현되면 1계 미분방정식이 분리가능하다 또는 변수분리가능하다고 한다.

정의 13-11 변수분리형 미분방정식

y’ = f(x)g(y) 꼴로 표현되는 미분방정식을 변수분리형 미분방정식이라 한다.

정리 13-2 변수분리형 1계 미분방정식의 풀이법

변수분리형 미분방정식 $\cfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 의 해는 다음과 같이 구한다.

\[\cfrac{dy}{g(y)} = f(x)dx\] \[\int \cfrac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx\]

완전 미분방정식

정의 13-12 완전 미분방정식

M(x, y)dx + N(x, y)dy 가 이변수함수 z = f(x, y)의 전미분일 때, M(x, y)dx + N(x, y)dy를 완전 미분exact differential이라 하고

\[M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\]

을 완전미분방정식이라 한다.

정리 13-3 완전 미분방정식의 판정법

1계 편도함수가 연속인 두 함수 M(x, y), N(x, y)에 대하여

\[M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\]

이 완전 미분방정식이 되기 위한 필요충분조건은

\[\cfrac{\partial M}{\partial y} = \cfrac{\partial N}{\partial x}\]

이다.

정리 13-4 완전 미분방정식 풀이법

완전 미분방정식 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0의 해를 f(x, y)라 하자.

\[M = \cfrac{\partial f(x, y)}{\partial x},\quad N = \cfrac{\partial f(x, y)}{\partial y}\]

13.4 선형 미분방정식

정의 13-13 동차 선형 미분방정식과 비동차 선형 미분방정식

$a(x) \neq 0$ 인 2계 선형 미분방정식

\[a(x)\cfrac{d^2y}{dx^2} + b(x)\cfrac{dy}{dx} + c(x)y = f(x)\]

가 주어졌을 때,

  1. f(x) = 0이면 이 미분방정식을 동차homogeneous 선형 미분방정식이라 한다.
  2. $f(x) \neq 0$ 이면 이 미분방정식을 비동차non-homogeneous 선형 미분방정식이라 한다.
정리 13-5 계수가 상수인 2계 동차 선형 미분방정식의 일반해

계수가 상수인 2계 동차 선형 미분방정식

\[a\cfrac{d^2y}{dx^2} + b\cfrac{dy}{dx} + cy = 0\]

의 일반해를 보조방정식의 근에 따라 구하면 다음과 같다.

보조방정식 보조방정식의 판별식 보조방정식의 근 미분방정식의 일반해
$ak^2+bk+c = 0$ $b^2-4ac>0$ $\alpha, \beta\quad\text{(실근)}$ $y = c_1e^{\alpha x}+c_2e^{\beta x}$
$b^2-4ac=0$ $\alpha \text{(실근)}$ $y=(c_1+c_2x)e^{\alpha x}$
$b^2-4ac<0$ $\alpha = p + qi,\\\ \ \beta = p - qi \text{(허근)}$ $y = e^{px}(c_1\cos{qx}+c_2\sin{qx})$

Chapter 14 라플라스 변환Laplace transform

라플라스 변환을 이용하면 미분방정식을 비교적 간단한 대수방정식으로 바꿔 대수방정식의 해를 쉽게 구할 수 있다. 이렇게 구한 대수방정식의 해를 라플라스 역변환하면 원래 구하고자 한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

14.1 라플라스 변환

정의 14-1 라플라스 변환

구간 $[0, \infty)$ 에서 정의된 함수 f(t)에 대하여 이상적분

\[\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt = \lim_{b \to \infty}\int_0^b e^{-st}f(t)dt = F(s)\]

가 존재하면 F(s)를 함수 f(t)의 라플라스 변환이라 하며 $\mathscr{L}\{f(t)\}$ 로 나타낸다.

즉, 라플라스 변환은 t에 대한 함수 f를 s에 대한 함수 F로 변환하는 것이다. 라플라스 변환을 할 때, 적분 구간은 항상 $[0, \infty)$ 로 한다.

정리 14-1 기본 함수의 라플라스 변환
  1. $\mathscr{L}\{1\} = \cfrac{1}{s}$
  2. $\mathscr{L}\{t\} = \cfrac{1}{s^2}$
  3. $\mathscr{L}\{t^n\} = \cfrac{n!}{s^{n+1}}$
  4. $\mathscr{L}\{e^{at}\} = \cfrac{1}{s-a}\quad (s>a)$
  5. $\mathscr{L}\{\sin bt\} = \cfrac{b}{s^2+b^2}$
  6. $\mathscr{L}\{\cos bt\} = \cfrac{s}{s^2+b^2}$
정리 14-2 라플라스 변환의 선형성

두 함수 f(t), g(t)의 라플라스 변환이 존재할 때, 임의의 실수 a, b에 대하여 다음이 성립한다.

\[\mathscr{L}\\{af(t)+bg(t)\\} = a\mathscr{L}\\{f(t)\\}+b\mathscr{L}\\{g(t)\\}\]
정의 14-2 지수적 차수 a의 함수

$T < t$ 인 모든 t에 대하여

\[|f(t)| \leq Me^{at}\]

을 만족하는 음이 아닌 상수 a와 $T > 0$ , $M > 0$ 이 존재하면, f(t)를 지수적 차수 a의 함수라 한다.

정리 14-3 라플라스 변환의 존재성

f(t) 가 구간 $[0, \infty)$ 에서 조각 연속piecewise continuous이고 지수적 차수 a의 함수이면 $a < s$ 인 모든 s에 대하여 함수 f(t)의 라플라스 변환 $\mathscr{L}\{f(t)\}$ 가 존재한다.

14.2 라플라스 변환의 성질

정리 14-4 제1이동정리first shifting theorem

함수 f(t)의 라플라스 변환이 존재하면

\[\mathscr{L}\\{e^{at}f(t)\\} = F(s-a)\quad (s > a)\]
정리 14-5 n계 도함수의 라플라스 변환

n이 자연수일 때 n계 도함수 $f^{(n)}(t)$ 의 라플라스 변환은 다음과 같다.

\[\mathscr{L}\\{f^{(n)}(t)\\} = s^n\mathscr{L}\\{f(t)\\} - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)\]
정리 14-6 라플라스 변환의 미분

n이 자연수일 때 함수 $t^nf(t)$ 의 라플라스 변환은 다음과 같다.

\[\mathscr{L}\\{t^nf(t)\\} = (-1)^n\cfrac{d^nF(s)}{ds^n}\]

14.3 라플라스 역변환

s에 대한 함수 F(s)가 $t \geq 0$ 에서 정의되는 함수 f(t) 사이에 $\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s)$ 의 관계가 성립할 때 f(t)를 F(s)의 라플라스 역변환inverse Laplace transform이라 하고 다음과 같이 나타낸다.

\[f(t) = \mathscr{L}^{-1}\\{F(s)\\}\quad \rightleftarrows\quad F(s) = \mathscr{L}\\{f(t)\\}\]
정리 14-7 기본함수의 라플라스 역변환
  1. $\mathscr{L}^{-1}\left\{\cfrac{1}{s}\right\} = 1$
  2. $\mathscr{L}^{-1}\left\{\cfrac{1}{s^2}\right\} = t$
  3. $\mathscr{L}^{-1}\left\{\cfrac{n!}{s^{n+1}}\right\} = t^n\quad (n은 자연수)$
  4. $\mathscr{L}^{-1}\left\{\cfrac{1}{s-a}\right\} = e^{at}\quad (s>a)$
  5. $\mathscr{L}^{-1}\left\{\cfrac{b}{s^2+b^2}\right\} = \sin bt$
  6. $\mathscr{L}^{-1}\left\{\cfrac{s}{s^2+b^2}\right\} = \cos bt$
제1이동정리를 이용한 라플라스 역변환

정리 14-7을 이용할 수 없는 경우, 정리 14-4의 제1이동정리를 이용하여 라플라스 역변환을 구할 수 있다. 즉, $\mathscr{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$ 와 $\mathscr{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)$ 에 라플라스 역변환을 하면 다음이 성립한다.

\[\begin{aligned} \mathscr{L}^{-1}\\{F(s-a)\\} &= e^{at}f(t) = e^{at}\mathscr{L}^{-1}\\{F(s)\\}\\\ \ \mathscr{L}^{-1}\\{F(s+a)\\} &= e^{-at}f(t) = e^{-at}\mathscr{L}^{-1}\\{F(s)\\} \end{aligned}\]

이 관계를 이용하면 다음과 같이 라플라스 역변환을 쉽게 계산할 수 있다.

\[\begin{aligned} \mathscr{L}^{-1}\left\\{\cfrac{1}{(s-a)^n}\right\\} &= e^{at}\mathscr{L}^{-1}\left\\{\cfrac{1}{s^n}\right\\} = \cfrac{t^{n-1}e^{at}}{(n-1)!}\\\ \ \mathscr{L}^{-1}\left\\{\cfrac{1}{(s+a)^n}\right\\} &= e^{-at}\mathscr{L}^{-1}\left\\{\cfrac{1}{s^n}\right\\} = \cfrac{t^{n-1}e^{-at}}{(n-1)!} \end{aligned}\]

14.4 라플라스 변환의 응용

정리 14-8 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이법

함수 y(t)에 대한 미분방정식의 풀이법은 다음과 같다.

Chapter 15. 푸리에 급수와 푸리에 변환Fourier series and fourier transform

15.1 직교함수

정의 15-1 함수의 내적

구간 [a, b]에서 정의된 두 함수 f와 g의 내적inner product을 다음과 같이 정의한다.

\[(f, g) = \int_a^b f(x)g(x)dx\]
정의 15-2 함수의 직교성과 직교함수

구간 [a, b]에서 정의된 두 함수 f와 g의 내적이 0일 때, 즉

\[(f, g) = \int_a^b f(x)g(x)dx = 0\]

이면 구간 [a, b]에서 두 함수 f와 g는 직교한다orthogonal고 한다. 이 때 직교하는 두 함수 f와 g는 직교함수orthogonal function라 한다.

정의 15-3 직교집합

$\{\phi_0, \phi_1, \phi_2, \cdots \}$ 가 구간 [a, b]에서 정의된 함수의 집합일 때, $m \neq n$ 인 모든 음이 아닌 정수 m과 n에 대하여

\[(\phi_m, \phi_n) = \int_a^b \phi_m(x)\phi_n(x)dx = 0\]

이면 $\{\phi_0, \phi_1, \phi_2, \cdots \}$ 를 구간 [a, b]에서의 직교집합이라 한다.

정의 15-4 노름

구간 [a, b]에서 정의된 함수 f의 노름은 다음과 같이 정의한다.

\[\|f\| = \sqrt{(f, f)}\]

이 때 $(f, f) = \int_a^b f(x)\cdot f(x)dx$ 이다.

정의 15-5 정규직교집합

구간 [a, b]에서 $\{\phi_0, \phi_1, \phi_2, \cdots\}$ 가 직교집합이고 모든 음이 아닌 정수 n에 대하여 $|\phi_n| = 1$ 이면 $\{\phi_0, \phi_1, \phi_2, \cdots\}$ 를 구간 [a, b]에서의 정규직교집합이라 한다.

15.2 푸리에 급수

삼각함수의 급수

$p>0$ 일 때 구간 [-p, p]에서 정의된 함수에 대한 푸리에 급수를 정의하는 것이 일반적이다. 하지만 쉽게 이해할 수 있도록 구간을 $[-\pi, \pi]$ 로 한정하고 푸리에 급수를 유도해보자.

구간 $[-\pi, \pi]$ 에서 $\left\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \cfrac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos 2x}{\sqrtl{\pi}}, \cfrac{\sin 3x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos 3x}{\sqrt{\pi}}, \cdots\right\}$ 는 정규직교집합이므로 집합 안의 서로 다른 두 함수는 직교한다. 구간 $[-\pi, \pi]$ 에서 정의된 함수 f를 다음 삼각함수의 급수로 전개할 수 있다고 가정하자.

\[f(x) = \cfrac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]

이제 식 15.1이 성립하도록 하는 계수 $a_0, a_1, a_2, \cdots, b_1, b_2, \cdots$ 를 구해보자

식 15.1의 양변을 적분하면

\[\int_{-\pi}^{\pi} fx(dx) = \int_{-\pi}^{\pi}\cfrac{a_0}{2}dx + \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\int_{-pi}^{\pi}a_n\cos nxdx + \int_{-pi}^{pi}b_n \sin nxdx\right)\]

이다. $\int_{-pi}^{pi}\cfrac{a+0}{2}dx = a_0\pi$ 이고 n이 자연수일 때

\[\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos nxdx &= \cfrac{a_n\sin nx}{n}\bigg|_ {-\pi}^{\pi} = 0,\\\ \ \int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin nxdx &= -\cfrac{n_a\cos nx}{n}\bigg|_ {-\pi}^{\pi} = 0 \end{aligned}\]

이므로 식 15.2로부터 다음 결과를 얻는다.

\[a_0 = \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}{\pi}f(x)dx\]

구간 $[-\pi, \pi]$ 에서 $\left\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \cfrac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos 2x}{\sqrtl{\pi}}, \cdots\right\}$ 는 정규직교집합이므로

\[\int_{-\pi}^{\pi}\cfrac{\cos mx}{\sqrt{\pi}}\cdot\cfrac{\cos nx}{\sqrt{\pi}} = \begin{cases}0,\quad m \neq n\\\ \ 1,\quad m = n \end{cases}\]

이다. 따라서

\[\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cdot \cos nxdx = \begin{cases}0,\quad m \neq n\\\ \ \pi,quad m=n \end{cases}\]

이다. 또한 모든 자연수 m, n에 대하여

\[\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cdot \cos nxdx = 0\]

이다. a_n을 구하기 위해 식 15.1의 양변에 $\cos mx$ 를 곱하고 적분하면

\[\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mxdx = \int_{-\pi}^{\pi} \cfrac{a_0}{2} \cos mxdx + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos mx \cdot \cos nxdx + \int_{-\pi}^{\pi} b_n \cos mx \cdot \sin nxdx \right)\]

이다. $int_{-\pi}^{\pi}\cfrac{a_0}{2}\cos mxdx = 0$ 이고 $int_{-\pi}^{\pi}a_n \cos mx \cdot \cos nxdx = \begin{cases}0,\quad m \neq n\\ \ a_n\pi,\quad m = n \end{cases}$ 이며 $int_{-\pi}^{\pi}b_n \cos mx \cdot \sin nxdx = 0$ 이므로 식 15.3으로부터 m = n 일 때 다음 결과를 얻는다.

\[a_n = \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\]

구간 $[-\pi, \pi]$ 에서 $\left\{\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \cfrac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \cfrac{\cos 2x}{\sqrtl{\pi}}, \cdots\right\}$ 는 정규직교집합이므로

\[\int_{-\pi}^{\pi}\cfrac{\sin mx}{\sqrt{\pi}}\cdot\cfrac{\sin nx}{\sqrt{\pi}} = \begin{cases}0,\quad m \neq n\\\ \ 1,\quad m = n \end{cases}\]

이다. 따라서

\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \cdot \sin nxdx = \begin{cases}0,\quad m \neq n\\\ \ \pi,quad m=n \end{cases}\]

이다. $b_n$ 을 구하기 위해 식 15.1의 양변에 $\sin mx$ 를 곱하고 적분하면

\[\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin mxdx = \int_{-\pi}^{\pi} \cfrac{a_0}{2} \sin mxdx + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos nx \cdot \sin mxdx + \int_{-\pi}^{\pi} b_n \sin nx \cdot \sin mxdx \right)\]

이다. $int_{-\pi}^{\pi}\cfrac{a_0}{2}\sin mxdx = 0$ 이고 $int_{-\pi}^{\pi}a_n \cos nx \cdot \sin mxdx = 0$ 이며 $int_{-\pi}^{\pi}b_n \sin nx \cdot \sin mxdx = \begin{cases}0,\quad m \neq n\\ \ b_n\pi,\quad m = n \end{cases}$ 이므로 식 15.4으로부터 m = n 일 때 다음 결과를 얻는다.

\[b_n = \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\]

푸리에 급수의 정의

정의 15-6 푸리에 급수의 정의

구간 $[-\pi, \pi]$ 에서 정의된 함수 f의 푸리에 급수Fourier series는 다음과 같이 정의한다.

\[f(x) = \cfrac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)\]

이때 다음과 같이 정의되는 $a_0, a_n, b_n$ 을 푸리에 계수Fourier coefficient라고 한다.

\[\begin{aligned} a_0 &= \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\\ \ a_n &= \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\\\ \ b_n &= \cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx \end{aligned}\]

푸리에 계수를 구하는 문제는 치환적분과 부분적분을 이용해야 하는 복잡한 계산이므로 정적분과 관련된 연습을 많이 해야 한다.

정리 15-1 푸리에 급수의 수렴성

만일 함수 f와 f’이 모두 구간 $[\pi, \pi]$ 에서 조각 연속이면

  1. f의 푸리에 급수는 연속인 점에서 f(x)에 수렴한다.
  2. f의 푸리에 급수는 불연속인 점에서 $\cfrac{f(x^+)-f(x^-)}{2}$ 로 수렴한다. 이 때 $f(x^+)$ 는 x에서의 우극한, $f(x^-)$ 는 x에서의 좌극한을 나타낸다.

15.3 푸리에 사인 급수와 코사인 급수

정의 15-7 우함수와 기함수
  1. $f(-x) = f(x)$ 이면 f를 우함수Even function라 한다.
  2. $f(-x) = -f(x)$ 이면 f를 기함수Odd function라 한다.
정리 15-2 우함수와 기함수의 성질
  1. (기함수)x(기함수)는 (우함수)이다.
  2. (기함수)x(우함수)는 (기함수)이다.
  3. (우함수)x(우함수)는 (우함수)이다.
  4. $a>0$ 이고 f가 우함수이면, $\int_{-a}^a f(x)dx = 2 \int_0^af(x)dx$ 이다.
  5. $a>0$ 이고 f가 기함수이면, $\int_{-a}^a f(x)dx = 0$ 이다.
정의 15-8 푸리에 사인 급수

구간 $[0, \pi]$ 에서 정의된 함수 f의 푸리에 사인 급수Fourier sine series는 다음과 같이 정의한다.

\[f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}b_n\sin nx\]

이때 계수 $b_n = \cfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nxdx$ 이다.

정의 15-9 푸리에 코사인 급수

구간 $[0, \pi]$ 에서 정의된 함수 f의 푸리에 코사인 급수Fourier cosine series는 다음과 같이 정의한다.

\[f(x) = \cfrac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}a_n\cos nx\]

이때 계수 $a_0 = \cfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)dx, a_n = \cfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nxdx$ 이다.

15.4 푸리에 변환

정의 15-10 푸리에 변환

함수 f가 $\mathbb{R}$ 에서 적분 가능할 때, f의 푸리에 변환Fourier transform은 다음과 같이 정의한다.

\[\mathscr{F}\\{f(t)\\} = \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]
정의 15-11 푸리에 역변환

$\omega$ 에 대한 함수 $\hat{f}(t)$ 가 주어질 때, 이 변환에 대응하는 시간 영역의 함수 f(t)를 $\hat{f}(\omega)$ 의 푸리에 역변환Inverse Fourier transform이라 하고 다음과 같이 나타낸다.

\[f(t) = \mathscr{F}^{-1}\\{\hat{f}(\omega)\\} = \cfra{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega) e^{i\omega t}d\omega\]

FOOT NOTE

  1. Vector space; $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} x \mathbb{R}$ , wiki ↩

  2. The upside-down capital delta symbol $\nabla$ , also called ‘del’, used to denote the gradient and other vector derivatives. wolfram ↩